Question

【題目】設z1是虛數，z2＝z1是實數，且﹣1≤z2≤1．

（1）求|z1|的值以及z1的實部的取值范圍；

（2）若ω，求證ω為純虛數；

（3）求z2﹣ω2的最小值．

Answer 1

【答案】（1）|z1|＝1，取值范圍為[，]．（2）見解析（3）1

【解析】

（1）設z1代數形式代入z2，根據z2是實數，求得|z1|，再根據﹣1≤z2≤1，求得z1的實部的取值范圍；

（2）根據復數除法法則化簡ω，再根據純虛數概念判斷證明；

（3）先化簡z2﹣ω2，再利用基本不等式求最小值．

（1）設z1＝a+bi，（a，b∈R，且b≠0），

則z2＝z1（a+bi）（a+bi）（a+bi）（a）+（b）i，

因為z2是實數，

所以b0，即b（）＝0，

因為b≠0，所以a2+b2＝1，

即|z1|＝1，且z2＝2a，

由﹣1≤z2≤1，得﹣1≤2a≤1，解得a，

即z1的實部的取值范圍為[，]．

（2）證明：∵a2+b2＝1，

ω，

因為a，b≠0，

所以ω為純虛數．

（3）z2﹣ω2＝（a）+（b）i﹣（）2，

＝2a+（b﹣b）i

＝2a

＝2a

＝1

＝1

＝1

＝1+2（a+1）﹣4

＝2（a+1）3，a+1∈[，]，

當2（a+1）時，即a＝0時，z2﹣ω2取最小值1．