Question

【題目】如圖，平面平面，四邊形為矩形， ．為的中點， ．

（1）求證： ；

（2）若時，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明過程詳見解析；（2）．

【解析】試題（1）連結，則，從而得到，進而得到，由此能證明；（2）由（1）得．不妨設， ，取的中點為，建立坐標系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用向量的夾角公式，利用向量法即可.試題解析：（1）證明：連結，因， 是的中點，故．

又因平面平面，故平面，

于是．又，所以平面，

所以，又因，故平面，

所以．

（2）由（1），得，不妨設，則，取的中點，以為原點, 所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則

從而.

設平面的法向量，由，得，

同理可求得平面的法向量，設的夾角為，則，

由于二面角為鈍二面角，則余弦值為.