Question

【題目】已知直線l的方程為y＝x－2，又直線l過橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點，且橢圓的離心率為．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點D（0，1）的直線與橢圓C交于點A，B，求△AOB的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】

試題（Ⅰ）通過分析可知直線與軸的交點為，得，又，得，利用，可得即可求得橢圓方程為；（Ⅱ）可設直線方程為，

設，故，為此可聯立，整理得，利用韋達定理，求出，

可得，

令則，[科當，即時，的最大值為.

試題解析：（Ⅰ）∵，∴橢圓的焦點為直線與軸的交點，

∵直線與軸的交點為，∴橢圓的焦點為，∴，

又∵，∴，∴

∴橢圓方程為．

（Ⅱ） 直線的斜率顯然存在，設直線方程為

設，由，得，

顯然，

令則，，

，即時，的最大值為.