Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC．
（Ⅰ）求證：AC⊥BB₁；
（Ⅱ）若P是棱B₁C₁的中點，求平面PAB將三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成的兩部分體積之比．擼啊．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知得平面ABB₁A₁⊥平面ABC，從而AB⊥AC，進而AC⊥平面ABB₁A₁，由此能證明AC⊥BB₁．
（Ⅱ）設平面PAB與棱A₁C₁交于Q，連結AQ，PQ，將棱臺C₁PQ-ABC還原為棱錐S-ABC，由此能求出平面PAB將三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成的兩部分體積之比．

解答： （Ⅰ）證明：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵A₁B⊥平面ABC，A₁B?平面ABB₁，
∴平面ABB₁A₁⊥平面ABC，
∵平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB，AB⊥AC，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，
∴AC⊥BB₁．

（Ⅱ）解：設平面PAB與棱A₁C₁交于Q，
∵P為棱B₁C₁的中點，∴Q為棱A₁C₁的中點，
連結AQ，PQ，
設三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積為S，高為h，體積為V，
則Sh=V，
如圖，將棱臺C₁PQ-ABC還原為棱錐S-ABC，
解得VPQC1-ABC=

7

12

V，
VAB-A1B1PQ=V-

7

12

V=

5

12

V，
∴平面PAB將三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成的兩部分體積之比為：

VPQC1-ABC

VAB-A1B1PQ

=

7

5

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查兩個幾何體的體積之比的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．