Question

【題目】已知拋物線C：，過點且互相垂直的兩條動直線，與拋物線C分別交于P，Q和M，N.

（1）求四邊形面積的取值范圍；

（2）記線段和的中點分別為E，F，求證：直線恒過定點.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）設直線：，：，聯立直線與拋物線的方程，由韋達定理和弦長公式，，同理，，利用，即可求出四邊形面積的取值范圍；

（2）由（1）知，可求出，由此可求出點的坐標，同理可求出點的坐標，再求出，利用點斜式表示出直線的方程，化簡后即可證明直線恒過定點.

（1）由題意可知兩直線，的斜率一定存在，且不等于0.

設：（），，，

則：（）.

因為聯立直線與拋物線的方程，有，

其中，由韋達定理，有.

由上可得，

同理，

則四邊形面積.

令.則.

所以，當且僅當，即時，S取得最小值12，

且當時，.

故四邊形面積的范圍是.

（2）由（1）知，，則，

所以中點E的坐標為，同理點F的坐標為.

于是，直線的斜率為，

則直線的方程為：，

所以直線恒過定點.