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【題目】設函數，函數．

（1）求函數的值域；

（2）若對于任意的，總存在，使得成立，求實數的取值范圍．

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：

（1）根據和三種情況分別求出的取值范圍，最后可得函數的值域為。（2）由（1）知，函數的值域。由函數上單調遞增，可得函數的值域，“對于任意的，總存在，使得成立”等價于，并由此得到，解得即為所求。

試題解析：

（1）①當時，，則函數在（0,1）上單調遞增，在上單調遞減，所以。

②當時，；

③當時，，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以。

綜上可得。

所以函數的值域為。

（2）由（1）知，函數的值域

又函數上單調遞增，

∴，即，

∴函數的值域，

由題意得“對于任意的，總存在，使得成立”等價于，

∴，

解得．

∴實數的取值范圍為.

練習冊系列答案

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（Ⅰ）根據已知條件完成下面2×2列聯表，并據此判斷是否有99%的把握認為“讀書迷”與性別有關？

（Ⅱ）將頻率視為概率，現在從該校大量學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“讀書迷”的人數為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列、數學期望和方差．

附：

	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

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累積凈化量（克）				12以上
等級

為了了解一批空氣凈化器（共5000臺）的質量，隨機抽取臺機器作為樣本進行估計，已知這臺機器的累積凈化量都分布在區間中，按照、、、、均勻分組，其中累積凈化量在的所有數據有：4.5,4.6,5.2,5.3,5.7和5.9，并繪制了頻率分布直方圖，如圖所示：

（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；

（2）以樣本估計總體，試估計這批空氣凈化器（共5000臺）中等級為的空氣凈化器有多少臺？

（3）從累積凈化量在的樣本中隨機抽取2臺，求恰好有1臺等級為的概率.

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【題目】某品牌汽車的店，對最近100份分期付款購車情況進行統計，統計情況如下表所示.已知分9期付款的頻率為0.4；該店經銷一輛該品牌汽車，若顧客分3期付款，其利潤為1萬元；分6期或9期付款，其利潤為2萬元；分12期付款，其利潤為3萬元.

付款方式	分3期	分6期	分9期	分12期
頻數	20	20

（1）若以上表計算出的頻率近似替代概率，從該店采用分期付款購車的顧客（數量較大）中隨機抽取3為顧客，求事件：“至多有1位采用分6期付款“的概率；

（2）按分層抽樣方式從這100為顧客中抽取5人，再從抽取的5人中隨機抽取3人，記該店在這3人身上賺取的總利潤為隨機變量，求的分布列和數學期望.

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（Ⅰ）估計該地區老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；

（Ⅱ）能否有的把握認為該地區的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？

（Ⅲ）根據（Ⅱ）的結論，能否提供更好的調查方法來估計該地區的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由.

附：

	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

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