Question

【題目】已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點為F，拋物線上一點P的縱坐標為3，且｜PF｜＝4，過M（m，0）作拋物線C的切線MA（斜率不為0），切點為A．

（1）求拋物線C的方程；

（2）求證：以FA為直徑的圓過點M．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（1）由拋物線的定義即可求出p的值，即可得解；

（2）設切線MA的方程為y=k（x﹣m），k≠0，聯立方程，可得△=16k2﹣16km=0，即m=k，切點M（2m，m2），由，即可判定以FA為直徑的圓過點M．

（1） ，

拋物線C的方程為：.

（2）設切點，切線MA的斜率為k，

，，，.

切線MA方程為：，即.

切線過， ，又， .

，，，

因此，以FA為直徑的圓過點M.

法二：設切線MA的方程為：

聯立方程：，消去y得：.

由題意知：.

， .，∴切點A的坐標為.

∴.，.

∴所以FA為直徑的圓點過點M.