Question

若中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓短軸端點是雙曲線y²-x²=1的頂點，且該橢圓的離心率與此雙曲線的離心率的乘積為1，則該橢圓的方程為（　　）

• A、

  y2

  2

  +x2=1
• B、

  x2

  2

  +y2=1
• C、

  x2

  4

  +y2=1
• D、

  y2

  4

  +x2=1

Answer 1

分析：根據雙曲線方程求得其焦點坐標和離心率，進而可得橢圓的焦點坐標和離心率，求得橢圓的長半軸和短半軸的長，進而可得橢圓的方程．

解答：解：設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，離心率為e
雙曲線y²-x²=1的頂點是（0，1），所以b=1．
∵雙曲線y²-x²=1的離心率為

12+12

=

2

∴e=

1

2

，即

c

a

=

a2-b2

a

=

a2-1

a

=

1

2

∴a²=2
∴所求的橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
故選B．

點評：本題主要考查了雙曲線的性質和橢圓的標準方程．要記住雙曲線和橢圓的定義和性質．