Question

把正整數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表：
設(shè)（i、j∈N^*）是位于這個(gè)數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)，數(shù)表中第i行共有2^i-1個(gè)正整數(shù)．
（1）若a_ij=2013，求i、j的值；
（2）記A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N^*），試比較A_n與n²+n的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)判斷前n行共有多少項(xiàng)，從而判斷2013在第幾行，第幾個(gè)數(shù)，求得i、j即可；
（2）先求出A_n，利用歸納，猜想、證明的方法比較A_n與n²+n的大小．

解答：解：（1）數(shù)表中前n行共有1+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ-1個(gè)數(shù)，
第i行第一個(gè)數(shù)是2^i-1，
∴a_ij=2^i-1+j-1，
∵2¹⁰＜2013＜2¹¹，
∴i=11，j=2013-2¹⁰+1=990．
（2）∵A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn=（1+2+2²+…+2^n-1）+[0+1+2+3+…+（n-1）]=2ⁿ-1+

n(n+1)

2

，
∴A_n-（n²+n）=2ⁿ-

n2+3n+2

2

，
當(dāng)n=1時(shí)，2n＜

n2+3n+2

2

，則A_n＜n²+n；
當(dāng)n=2時(shí)，2n＜

n2+3n+2

2

，則A_n＜n²+n；
當(dāng)n=3時(shí)，2n＜

n2+3n+2

2

，則A_n＜n²+n；
當(dāng)n=4時(shí)，2ⁿ＞

n2+3n+2

2

，則A_n＜n²+n；
猜想：當(dāng)n≥4時(shí)，2ⁿ＞

n2+3n+2

2

．
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=4時(shí)，2⁴=16＞

42+3×4+2

2

，成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥4）時(shí)，成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k+1=2×2^k＞k²3k+2，
∵k²3k+2-

(k+1)2+3(k+1)+2

2

=

2k2+6k+4-(k+1)2-3(k+1)-2

2

=

(k+2)(k-1)

2

＞0，（k≥4）
∴2^k+1＞

(k+1)2+3(k+1)+2

2

，即n=k+1時(shí)，成立．
由①②知，n≥4時(shí)，2ⁿ＞

n2+3n+2

2

，即A_n＞n²+n．
綜上，當(dāng)n=1、2、3時(shí)，A_n＜n²+n；
當(dāng)n≥4時(shí)，A_n＞n²+n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)學(xué)歸納法及等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題．