Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）當時，若存在正實數(shù)滿足，求證：.

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析（3）見解析

【解析】

（Ⅰ）由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，即可求解；

（Ⅱ）由題意，得 ，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）代入，求出，令，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可作出證明.

（1）因為，所以，

因為在處取得極值，

所以，解得．

驗證：當時，在處取得極大值．

（2）解：因為

所以．

①若，則當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．

②若，，

當時，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減；

當時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，易得函數(shù)在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減．

（3）證明：當時，，

因為，

所以，

即，

所以．

令，，

則，

當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．

所以函數(shù)在時，取得最小值，最小值為．

所以，

即，所以或．

因為為正實數(shù)，所以．

當時，，此時不存在滿足條件，

所以．