Question

【題目】已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時，f（x）=x2+2x．
（1）現(xiàn)已畫出函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請補(bǔ)全函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f（x）（x∈R）的遞增區(qū)間；

（2）寫出函數(shù)f（x）（x∈R）的值域；
（3）寫出函數(shù)f（x）（x∈R）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，作出函數(shù)在R上的圖象，

結(jié)合圖象可得函數(shù)的增區(qū)間為（﹣1，0）、減區(qū)間為（1，+∞）

（2）解：結(jié)合函數(shù)的圖象可得，當(dāng)x=1，或 x=﹣1時，函數(shù)取得最小值為﹣1，

函數(shù)沒有最大值，故函數(shù)的值域?yàn)閇﹣1，+∞）

（3）解：當(dāng)x＞0時，﹣x＜0，再根據(jù)x≤0時，f（x）=x2+2x，

可得f（﹣x）=（﹣x）2+2（﹣x）=x2﹣2x．

再根據(jù)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，可得f（x）=x2﹣2x．

綜上可得，f（x）=

【解析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，作出函數(shù)在R上的圖象，結(jié)合圖象可得函數(shù)的增區(qū)．（2）結(jié)合函數(shù)的圖象可得函數(shù)的值域．（3）依據(jù)條件求得當(dāng)x＞0時，f（x）的解析式，再依據(jù)函數(shù)的奇偶性得到f（x）在R上的解析式．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)的值域和函數(shù)圖象的作法，掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的；圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線；②利用熟知函數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對稱性描繪函數(shù)圖象即可以解答此題．