Question

【題目】已知函數.

（1）求在上的最大值和最小值；

（2）設曲線與軸正半軸的交點為處的切線方程為,求證：對于任意的正實數，都有.

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞減，在上單調遞增.（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，解關于導數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）設出點的坐標，表示出切線方程，令，根據函數的單調性證明即可.

試題解析：（1)由，可得.

令，解得，或.

當變化時， 的變化情況如表：

所以， 在上單調遞減，在上單調遞增.

(2)設點的坐標為，則,.

曲線在點處的切線方程為，即.

令，則，所以,

由于在上單調遞減，故在上單調遞減.

又因為，,所以當時， .

當時， ,所以在內單調遞增，在上單調遞減，所以對于任意的正實數，都有.

故對于任意的正實數，都有.