Question

【題目】橢圓C： =1（a＞b＞0）的離心率為 ，過右焦點F2（c，0）垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點且|AB|= ，又過左焦點F1（﹣c，0）任作直線l交橢圓于點M
（1）求橢圓C的方程
（2）橢圓C上兩點A，B關于直線l對稱，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知橢圓的通徑丨AB丨= = ，①

橢圓的離心率e= = = ，則 = ，②

由①②解得：a2=3，b2=2，

∴橢圓的標準方程為：

（2）解：由（1）可知：左焦點F1（﹣1，0），

依題意直線l不垂直x軸，當直線l的斜率k≠0時，可設直線l的方程為：y=k（x+1）（k≠0）

則直線AB的方程為：y=﹣ +b．A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立 ，整理得，（2k2+3）x2﹣6kmx+3k2m2﹣6k2=0，

△=（6km）2﹣4×（2k2+3）（3k2m2﹣6k2）＞0，則m2k2﹣2k2﹣3＜0，

x1+x2= ，x1x2= ，

設AB的中點為C（xC，yC），則xC= = ，yC= ．

點C在直線l上，∴ =k（ +1），則m=﹣2k﹣ ，…②

此時m2﹣2﹣ =4k2+ +4＞0與①矛盾，故k≠0時不成立．

當直線l的斜率k=0時，A（x0，y0），B（x0，﹣y0）（x0＞0，y0＞0）

△AOB面積s= ×2y0×x0=x0y0．

∵ + =1≥2 = x0y0，∴x0y0≤ ．

∴△AOB面積的最大值為 ，當且僅當 + = 時取等號．

△AOB面積的最大值

【解析】（1）由橢圓的通徑公式及離心率公式，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（2）當直線l的斜率k≠0時，可設直線l的方程為：y=k（x+1）（k≠0），即可求得直線AB的方程，聯立直線與橢圓方程，由△＞0得到k，m的關系式，再由對稱性求得k，m的關系式，此時k不存在；當直線l的斜率k=0時，A（x0 ， y0），B（x0 ， ﹣y0）（x0＞0，y0＞0）△AOB面積s=x0y0 ， 由均值不等式求解．