Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）經過點（0， ），離心率e= ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程及焦距．
（Ⅱ）橢圓C的左焦點為F1 ， 右頂點為A，經過點A的直線l與橢圓C的另一交點為P．若點B是直線x=2上異于點A的一個動點，且直線BF1⊥l，問：直線BP是否經過定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）由題意可得：b= ， ，a2=b2+c2 ．
聯立解得：a=2，c=1．
∴橢圓C的方程為： =1，焦距為2．
（II）設PA的方程為：my=x﹣2．（m≠0）．
聯立 ，化為：（3m2+4）y2+12my=0，
解得yP= ，∴xP= ．
∴P ．
設B（2，t），則 =﹣1，解得t=﹣3m．
∴直線BP的方程為：y+3m= （x﹣2），
化為：4y+m（6+3x）=0，令6+3x=0，4y=0，
解得x=﹣2，y=0．
∴直線BP經過定點（﹣2，0）．

【解析】（I）由題意可得：b= ， ，a2=b2+c2 ． 聯立解得：a，c．即可得出橢圓C的方程及其焦距．（II）設PA的方程為：my=x﹣2．（m≠0）．與橢圓方程聯立化為：（3m2+4）y2+12my=0，
解得P ．設B（2，t），根據 =﹣1，解得t=﹣3m．可得直線BP的方程為：y+3m=kBP（x﹣2），可得直線BP經過定點（﹣2，0）．