Question

【題目】已知函數f（x）= （e為自然對數的底數）．
（1）當a=b=0時，直接寫出f（x）的值域（不要求寫出求解過程）；
（2）若a= ，求函數f（x）的單調區間；
（3）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）內有解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=b=0時，f（x）=e﹣x，f（x）的值域是（0，+∞）
（2）解：若a= ，f（x）=（x2+bx+1）e﹣x，

則f′（x）=（2x+b）e﹣x﹣（x2+bx+1）e﹣x=﹣[x2+（b﹣2）x+1﹣b]e﹣x=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x，

由f′（x）=0得﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]=0，即x=1或x=1﹣b，

①若1﹣b=1，即b=0時，f′（x）=﹣（x﹣1）2e﹣x≤0，此時函數單調遞減，單調遞減區間為（﹣∞，+∞）．

②若1﹣b＞1，即b＜0時，由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＞0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＜0，即1＜x＜1﹣b，

此時函數單調遞增，單調遞增區間為（1，1﹣b），

由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＜0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＞0，即x＜1，或x＞1﹣b，

此時函數單調遞減，單調遞減區間為（﹣∞，1），（1﹣b，+∞），

③若1﹣b＜1，即b＞0時，由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＞0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＜0，即1﹣b＜x＜1，

此時函數單調遞增，單調遞增區間為（1﹣b，1），

由f′（x）=﹣（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]e﹣x＜0得（x﹣1）[x﹣（1﹣b）]＞0，即x＜1﹣b，或x＞1，

此時函數單調遞減，單調遞減區間為（﹣∞，1﹣b），（1，+∞）

（3）解：若f（1）=1，則f（1）=（2a+b+1）e﹣1=1，

即2a+b+1=e，則b=e﹣1﹣2a，

若方程f（x）=1在（0，1）內有解，

即方程f（x）=（2ax2+bx+1）e﹣x=1在（0，1）內有解，

即2ax2+bx+1=ex在（0，1）內有解，

即ex﹣2ax2﹣bx﹣1=0，

設g（x）=ex﹣2ax2﹣bx﹣1，

則g（x）在（0，1）內有零點，

設x0是g（x）在（0，1）內的一個零點，

則g（0）=0，g（1）=0，知函數g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不可能單調遞增，也不可能單調遞減，

設h（x）=g′（x），

則h（x）在（0，x0）和（x0，1）上存在零點，

即h（x）在（0，1）上至少有兩個零點，

g′（x）=ex﹣4ax﹣b，h′（x）=ex﹣4a，

當a≤ 時，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上遞增，h（x）不可能有兩個及以上零點，

當a≥ 時，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上遞減，h（x）不可能有兩個及以上零點，

當 ＜a＜ 時，令h′（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），

則h（x）在（0，ln（4a））上遞減，在（ln（4a），1）上遞增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a））．

若h（x）有兩個零點，則有h（ln（4a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，

h（ln（4a））=4a﹣4aln（4a）﹣b=6a﹣4aln（4a）+1﹣e， ＜a＜ ，

設φ（x）= x﹣xlnx+1﹣x，（1＜x＜e），

則φ′（x）= ﹣lnx，

令φ′（x）= ﹣lnx=0，得x= ，

當1＜x＜ 時，φ′（x）＞0，此時函數φ（x）遞增，

當 ＜x＜e時，φ′（x）＜0，此時函數φ（x）遞減，

則φ（x）max=φ（ ）= +1﹣e＜0，

則h（ln（4a））＜0恒成立，

由h（0）=1﹣b=2a﹣e+2＞0，h（1）=e﹣4a﹣b＞0，

得 ＜a＜ ，

當 ＜a＜ 時，設h（x）的兩個零點為x1，x2，則g（x）在（0，x1）遞增，

在（x1，x2）上遞減，在（x2，1）遞增，

則g（x1）＞g（0）=0，

g（x2）＜g（1）=0，

則g（x）在（x1，x2）內有零點，

綜上，實數a的取值范圍是（ ， ）

【解析】（1）求出f（x）的導數，根據指數函數的性質求出函數的值域即可；（2）由a的值，求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系即可求函數f（x）的單調區間；（3）根據函數與方程之間的關系轉化為函數存在零點問題，構造函數，求函數的導數，利用函數極值和函數零點之間的關系進行轉化求解即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．