Question

【題目】如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點．

求證：(1)E、C、D1、F四點共面；

(2)CE、D1F、DA三線共點．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）要證四點共線，可證明EF//CD1，根據推論三可得四點共面；（2）從圖中可以看出AD是平面ABCD與平面ADD1A1的交線，說明D1F與CE相交，則交點在兩平面的交線上，從而得三線共點

試題解析：

證明：(1)如圖所示，連接CD1、EF、A1B，

∵E、F分別是AB和AA1的中點，

∴FE∥A1B且EF＝A1B.

∵A1D1∥BC，A1D1=BC

∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，

∴A1B∥D1C，∴FE∥D1C，

∴EF與CD1可確定一個平面，即E、C、D1、F四點共面．

(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝CD1，

∴四邊形CD1FE是梯形，

∴直線CE與D1F必相交，設交點為P，

則P∈CE平面ABCD，

且P∈D1F平面A1ADD1，

∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.

又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，

∴P∈AD，∴CE、D1F、DA三線共點．