Question

【題目】已知在直角坐標系xOy中，P（1，1），A（x，0）（x＞0），B（0，y）（y＞0）

（Ⅰ）若x=，⊥，求y的值；

（Ⅱ）若△OAB的周長為2，求向量與的夾角．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）分別求得A，，的坐標，由向量垂直的條件：數量積為0，解方程可得y的值；

（Ⅱ）由題意可得x+y+=2，移項平方，計算向量與的數量積，以及模的乘積，再由向量夾角公式，即可得到所求角．

解：（Ⅰ）若x=，P（1，1），A（，0），B（0，y）（y＞0），

可得=（-1，y-1），=（-，y），

由⊥，可得=+y2-y=0，

解得y=；

（Ⅱ）若△OAB的周長為2，

即為x+y+=2，

即有2-x-y=，

平方可得4-4x-4y+2xy=0，

即1-x-y=-xy，

又=（x-1，-1），=（-1，y-1），

=1-x+1-y=2-x-y=，

||||=

=

=

=

==，

則cos＜，＞==，

由0≤＜，＞≤π，

可得向量與的夾角為．