Question

在△ABC中，a、b、c分別是三個內角A、B、C的對邊，a=3，cos

A+C

2

=

2

3

．且△ABC的面積為2

14

（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）求b、c的長．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由題意和倍角公式求出cos（A+C）的值，由內角和定理、誘導公式可得cosB的值；
（Ⅱ）由平方關系求出sinB，由題意和面積公式求出c的值，再由余弦定理求出b的值．

解答： 解：（Ⅰ）因為cos

A+C

2

=

2

3

，
所以cos（A+C）=2cos2(

A+C

2

)-1=2×

2

9

-1=-

5

9

，
由A+B+C=π得，cosB=-cos（A+C）=

5

9

，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，sinB=

1-cos2B

=

2 14

9

，
因為△ABC的面積為2

14

，所以

1

2

acsinB=2

14

，
即ac=18，又a=3，則c=6，
由余弦定理得，b²=a²+c²-2ac•cosB=9+36-2×3×6×

5

9

=45-20=25，則b=5，
所以b、c的長是5、6．

點評：本題考查余弦定理、面積公式，倍角公式、誘導公式，以及平方關系，內角和定理，考查知識點較多，難度不大．