Question

已知二次函數的圖象的頂點坐標是（1，-3），且經過點P（2，0），求這個函數的解析式．

Answer 1

分析：利用待定系數法求二次函數的解析式．

解答：解：法一：設所求函數的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
由題意知

a+b+c=-3 4a+2b+c=0 - b 2a =1

，解得

a=3 b=-6 c=0

．
∴函數的解析式為y=3x²-6x．
法二：設所求函數的解析式為y=a（x+h）²+k（a≠0），
則頂點坐標為（-h，k），已知頂點坐標是（1，-3），
∴h=-1，k=-3，
即所求的二次函數解析式為y=a（x-1）²-3．
又∵圖象經過點P（2，0），∴0=a×（2-1）²-3，
∴a=3．
∴函數的解析式為y=3（x-1）²-3，即y=3x²-6x．
法三：設所求函數的解析式為y=a（x-x₁）（x-x₂）（a≠0），
其中x₁、x₂是拋物線與x軸的兩交點的橫坐標．
已知拋物線與x軸的一個交點為P（2，0），對稱軸是直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個交點為（0，0），
∴x₁=0，x₂=2．
∴所求的解析式為y=a（x-0）（x-2）．
又∵頂點為（1，-3），∴-3=a×1×（1-2），∴a=3．
∴函數的解析式為y=3x²-6x．

點評：本題主要考查二次函數解析式的求法，求二次函數的解析式通常有三種方法，要求根據不同的條件選擇合適的方法．