Question

已知函數f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

，下列命題：
①函數f（x）的零點為1；           
②函數f（x）的圖象關于原點對稱；
③函數f（x）在其定義域內是減函數；  
④函數f（x）的值域為（-∞，-1）∪（1，+∞）．
其中所有正確的命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：已知函數f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

，
①由于e^x＞0，e^-x＞0，可得函數f（x）的無零點；
②由于函數的定義域為{x|x∈R且x≠0}，f（-x）=

e-x+ex

e-x-ex

=-f（x），因此函數f（x）是奇函數，即可得出圖象的對稱性；
③函數f（x）=

e2x+1

e2x-1

=1+

2

e2x-1

，當x＞0時，利用函數y=e^2x單調遞增，可得e^2x＞1，函數f（x）在x＞0時單調遞減；同理函數f（x）在x＜0時單調性質．但是在其定義域內不是單調函數；
④變形函數f（x）=1+

2

e2x-1

，當x＞0時，利用函數f（x）在x＞0時單調遞減，可得f（x）＞1；利用奇函數的性質可得：當x＜0時，可得f（x）＜-1．即可得出函數f（x）的值域．

解答： 解：已知函數f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

，
①∵e^x＞0，e^-x＞0，∴函數f（x）的無零點，不正確；
②∵函數的定義域為{x|x∈R且x≠0}，f（-x）=

e-x+ex

e-x-ex

=-f（x），∴函數f（x）是奇函數，因此其函數f（x）的圖象關于原點對稱，正確；
③函數f（x）=

e2x+1

e2x-1

=1+

2

e2x-1

，當x＞0時，函數y=e^2x單調遞增，且e^2x＞1，∴函數f（x）在x＞0時單調遞減；同理函數f（x）在x＜0時單調遞減，但是函數f（x）在其定義域內不是單調函數；
④函數f（x）=

e2x+1

e2x-1

=1+

2

e2x-1

，當x＞0時，函數f（x）在x＞0時單調遞減，可得f（x）＞1；同理利用奇函數的性質可得：當x＜0時，可得f（x）＜-1．因此函數f（x）的值域為（-∞，-1）∪（1，+∞）．
綜上可得：正確的命題為②④．
故答案為：②④．

點評：本題考查了函數f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

的單調性奇偶性值域及其零點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．