Question

【題目】已知函數是減函數.

（1）試確定a的值；

（2）已知數列，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明

【解析】

（Ⅰ）求導得，由是減函數得，對任意的，都有恒成立，構造函數，通過求導判斷它的單調性，令其最大值小于等于0，即可求出；

（Ⅱ）由是減函數，且可得，當時，，則，即，兩邊同除以得，，即，從而 ，兩邊取對數 ，然后再證明恒成立即可，構造函數，，通過求導證明即可。

解：（Ⅰ）的定義域為，.

由是減函數得，對任意的，都有恒成立.

設.

∵，由知，

∴當時，；當時，，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∴在時取得最大值.

又∵，∴對任意的，恒成立，即的最大值為.

∴，解得.

（Ⅱ）由是減函數，且可得，當時，，

∴，即.

兩邊同除以得，，即.

從而 ，

所以 ①.

下面證；

記，.

∴ ，

∵在上單調遞增，

∴在上單調遞減，

而，

∴當時，恒成立，

∴在上單調遞減，

即時，，

∴當時，.

∵，

∴當時，，即②.

綜上①②可得，.