Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：(a>b>0)的離心率為，短軸長是2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設橢圓C的下頂點為D，過點D作兩條互相垂直的直線l1，l2，這兩條直線與橢圓C的另一個交點分別為M，N.設l1的斜率為k(k≠0)，△DMN的面積為S，當，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由e＝，2b＝2，a2＝b2＋c2構造方程組，解出a，b即可得橢圓方程；(2)設l1的方程為y＝kx－1代入橢圓方程，求出M的坐標，可得|DM|，用代替k，可得|DN|，求出△DMN的面積S，可得，解不等式>可得k的取值范圍．

(1)設橢圓C的半焦距為c，則由題意得又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，

∴橢圓方程為＋y2＝1.

(2)由(1)知，橢圓C的方程為＋y2＝1，

所以橢圓C與y軸負半軸交點為D(0，－1)．

因為l1的斜率存在，所以設l1的方程為y＝kx－1.

代入＋y2＝1，得M，

從而|DM|＝＝.

用－代替k得|DN|＝.

所以△DMN的面積S＝·×＝.

則＝，

因為>，即>，

整理得4k4－k2－14<0，解得－<k2<2，

所以0<k2<2，即－<k<0或0<k<.

從而k的取值范圍為(－，0)∪(0，)．