已知橢圓C：
的離心率等于
，點P
在橢圓上。
（1）求橢圓
的方程；
（2）設橢圓的左右頂點分別為
，過點
的動直線
與橢圓相交于
兩點，是否存在定直線
：
，使得與
的交點
總在直線
上？若存在，求出一個滿足條件的
值；若不存在，說明理由.
（1）
；（2）存在，
.
解析試題分析：（1）由
，點
代入橢圓方程，二者聯立可以解出
；（2）以
的存在性分兩種情況：①不存在，直線:
,易證符合題意；②存在時，設直線:
，用直線方程和橢圓方程聯立方程組，消參得一元二次方程，利用韋達定理得，
，又因為
共線，有
，由
得
，得出
，由于
成立，所以點在直線上，綜上:存在定直線
:
,使得與的交點總在直線上,的值是
.
試題解析：（1）由
， 2分
又點
在橢圓上，
， 4分
所以橢圓方程是：； 5分
（2）當垂直
軸時，
，則的方程是：
，的方程是：
，交點的坐標是：
，猜測:存在常數,
即直線的方程是:使得與的交點總在直線上, 6分
證明：設的方程是，點
，
將的方程代入橢圓的方程得到：
，
即：
， 7分
從而：， 8分
因為：
，
共線
所以：，
， 9分
又
，
要證明
共線，即要證明
， 10分
即證明：
，
即：
，
即：
口算題卡加應用題集訓系列答案
綜合自測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
的左焦點為
，右焦點為
．
（Ⅰ）設直線
過點且垂直于橢圓的長軸，動直線
垂直于點P，線段
的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡
的方程；
（Ⅱ）設
為坐標原點，取曲線上不同于的點
，以
為直徑作圓與相交另外一點
，求該圓的面積最小時點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＋
＝1(a>b>0)的焦距為4，且與橢圓x2＋
＝1有相同的離心率，斜率為k的直線l經過點M(0,1)，與橢圓C交于不同的兩點A、B.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內時，求k的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓
的上、下頂點分別為
，點
在橢圓上，且異于點，直線
與直線
分別交于點
，
（Ⅰ）設直線的斜率分別為
，求證：
為定值；
（Ⅱ）求線段
的長的最小值；
（Ⅲ）當點運動時，以為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
的離心率等于
，點P
在橢圓上。
（1）求橢圓
的方程；
（2）設橢圓的左右頂點分別為
，過點
的動直線
與橢圓相交于
兩點，是否存在定直線
：
，使得與
的交點
總在直線
上？若存在，求出一個滿足條件的
值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知曲線C1的極坐標方程為ρcos（θ－
）＝－1，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2
cos（θ－
）．以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系．
（Ⅰ）求曲線C2的直角坐標方程；
（Ⅱ）求曲線C2上的動點M到曲線C1的距離的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
極坐標系中橢圓C的方程為
以極點為原點，極軸為
軸非負半軸，建立平面直角坐標系，且兩坐標系取相同的單位長度.
（Ⅰ）求該橢圓的直角標方程；若橢圓上任一點坐標為
，求
的取值范圍；
（Ⅱ）若橢圓的兩條弦
交于點
，且直線
與
的傾斜角互補，
求證:
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線
上，A，C關于
軸對稱，BD平行于拋物線在點C處的切線。
（Ⅰ）證明：AC平分
；
（Ⅱ）若點A坐標為
，四邊形ABCD的面積為4，求直線BD的方程。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖所示，設拋物線
的焦點為
，且其準線與
軸交于
，以，為焦點，離心率
的橢圓
與拋物線
在軸上方的一個交點為P.
（1）當
時，求橢圓的方程；
（2）是否存在實數
，使得
的三條邊的邊長是連續的自然數？若存在，求出這樣的實數；若不存在，請說明理由.
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