Question

【題目】已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若，，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）-10

【解析】

（Ⅰ）設橢圓C的方程為，根據它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，得到，又，由此求出橢圓C的標準方程.

（Ⅱ）設，，，直線l的方程為，代入方程，得，由此利用韋達定理結合已知條件能求出的值.

（Ⅰ）設橢圓C的方程為，

拋物線方程化為，其焦點為

則橢圓C的一個頂點為，即，

由，解得，

∴橢圓C的標準方程為

（Ⅱ）證明：∵橢圓C的方程為，

∴橢圓C的右焦點

設，，，由題意知直線l的斜率存在，

設直線l的方程為，代入方程，

并整理，得，

∴，，

又，，，，

而，，

即，，

∴，，

∴.