Question

【題目】點在圓上運動，軸，為垂足，點在線段上，滿足．

（1）求點的軌跡方程；

（2）過點作直線與點的軌跡相交于兩點，使點為弦的中點，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1） ;（2）.

【解析】

試題分析：（1）由條件可知，點是的中點，所以根據求什么設什么的原則，設點，則，代入方程，可求得點的軌跡方程；（2）此題為直線與橢圓相交的中點弦問題，設直線方程為，與橢圓方程聯立，根據韋達定理可得根與系數的關系，利用點是兩點的中點，可求得直線的斜率，即得直線方程.

試題解析：（1）∵點在線段上，滿足，∴點是線段的中點，

設，則，

∵點在圓上運動，則，即，

∴點的軌跡方程為．

（2）當直線軸時，由橢圓的對稱性可得弦的中點在軸上，不可能是點，這種情況不滿足題意．

設直線的方程為，

由可得，

由韋達定理可得，

由的中點為，可得，解得，

即直線的方程為，∴直線的方程為．