Question

【題目】函數(shù)，關(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則正數(shù)的取值范圍為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，令，由題意可知，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，根據(jù)數(shù)形結(jié)合和韋達(dá)定理可知，一個(gè)根在內(nèi)，一個(gè)根在內(nèi)，再令，因?yàn)?/span>，所以只需，由此即可求出的取值范圍．

解：，

令得，或1，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，，

令，

因?yàn)殛P(guān)于的方程恰有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

所以方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，且一個(gè)根在內(nèi)，一個(gè)根在內(nèi)，或者兩個(gè)根都在內(nèi)，或者一根為，另一根在內(nèi)；

因?yàn)?/span>為正數(shù)，所以，，所以，都為正根，所以兩個(gè)根不可能在內(nèi)，也不可能一根為，另一根在內(nèi)；

所以實(shí)數(shù)根，，且一個(gè)根在內(nèi)，一個(gè)根在內(nèi)，

令，因?yàn)?/span>，

所以只需，即，得，

即的取值范圍為：.

故答案為：.