Question

已知橢圓的左，右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為、．曲線是以、兩點(diǎn)為頂點(diǎn)，離心率為的雙曲線．設(shè)點(diǎn)在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交于另一點(diǎn)．
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，證明：.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）由橢圓的左右頂點(diǎn)分別為可得，，又由雙曲線是為頂點(diǎn)，故可設(shè)雙曲線的方程為，再由條件中雙曲線離心率為，可建立關(guān)于的方程，從而得到雙曲線的方程為；（2）根據(jù)題意可設(shè)直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立求，，消去后可得：，解得或，因此，同理，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去后可得
，從而得證．  .
試題解析：（1）依題意可得，，∴設(shè)雙曲線的方程為，
又∵雙曲線的離心率為，∴，即，∴雙曲線的方程為；
（2）設(shè)點(diǎn)，（，，），設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得：或，
∴， 同理可得，聯(lián)立方程組，∴．    .  
考點(diǎn)：1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與圓錐曲線相交綜合題.