Question

【題目】已知四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，點，分別是，的中點.

（1）求證：平面；

（2）若與平面所成角的余弦值等于，求的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2）

【解析】

（1）取的中點，連接，，可得，，進而，，所以四邊形是平行四邊形，再根據線面平行的判定定理即可求證.

（2）取的中點，根據勾股定理和線面垂直的判定定理可得平面，再建立空間直角坐標系，利用空間向量即可求出線面角.

（1）取的中點，連接，，

∵，分別為，的中點，

∴，，

∵為矩形，∴，，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，平面，

又∵平面，∴平面.

（2）取的中點，

∵，∴，，

∵平面平面，平面平面，

∴平面，

建立如圖坐標系，

設，則，，，，

∴，，

∴平面的法向量，，

若與平面所成角為，

∴，∴.