Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，頂點在底面上的射影恰為點，且

（1）證明：平面平面；

（2）求棱與所成的角的大小；

（3）若點為的中點，并求出二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

試題（1）因為頂點在在底面上的的射影恰好為得到，又，利用線面垂直的判定定理可得平面平面；（2）建立空間直角坐標系，求出，，利用向量的數量積公式求出棱與所成的角的大小；（3）求出平面的法向量，而平面的法向量，利用向量的數列積公式求解二面角的余弦值．

試題解析：（1）證明：，，又，，，

，．

（2）以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，

，，

，

故與棱所成的角是．

（3）因為為棱的中點，故易求得．設平面的法向量為，

則，由，得，令，則，

而平面的法向量．則．

由圖可知二面角為銳角，故二面角的平面角的余弦值是．