Question

【題目】兩城市和相距，現(xiàn)計(jì)劃在兩城市外以為直徑的半圓上選擇一點(diǎn)建造垃圾處理場(chǎng)，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的距離有關(guān)，對(duì)城和城的總影響度為城和城的影響度之和，記點(diǎn)到城的距離為，建在處的垃圾處理場(chǎng)對(duì)城和城的總影響度為，統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理場(chǎng)對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4，對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為，當(dāng)垃圾處理場(chǎng)建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城和城的總影響度為0.065；

（1）將表示成的函數(shù)；

（2）判斷上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理場(chǎng)對(duì)城和城的總影響度最小?若存在，求出該點(diǎn)到城的距離；若不存在，說(shuō)明理由；

Answer 1

【答案】（1）；

（2）存在，該點(diǎn)到城市A的距離時(shí)，總影響度最小；

【解析】

（1）根據(jù)“垃圾處理場(chǎng)對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4，對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為”，建立函數(shù)模型：，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，求得即可.

（2）總影響度最小，即為：求的最小值時(shí)的狀態(tài)，令，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為：，再用基本不等式求解.

（1）由題意得，

又當(dāng)時(shí)，，

，.

（2），

令，則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，

弧上存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理場(chǎng)對(duì)城和城的總影響度最小.