Question

已知數列{2^n－1·a_n}的前n項和S_n＝1－.
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)設b_n＝，求數列的前n項和．

Answer 1

（1）（2）(1－n)·2^n＋1－2

(1)由題意可知：S_n－1＝1－ (n≥2)，
又2^n－1·a_n＝S_n－S_n－1，∴2^n－1·a_n＝－.
∴a_n＝－＝－2^－n(n≥2)．∴a₁＝－.
又S₁＝1－＝，∴a₁≠S₁，∴a_n＝
(2)由題意知b_n＝ (n≥2)，∴＝n·2ⁿ(n≥2)．
∵＝＝2，∴＝n·2ⁿ(n≥1)．
設的前n項和為，則＝1×2＋2×2²＋3×2³＋…＋n·2ⁿ，
2＝1×2²＋2×2³＋3×2⁴＋…＋(n－1)·2ⁿ＋n·2^n＋1，
∴－2＝1×2＋2²＋2³＋…＋2ⁿ－n·2^n＋1＝2＋2²＋…＋2ⁿ－n·2^n＋1，
∴－＝(1－n)·2^n＋1－2，∴＝(n－1)·2^n＋1＋2