Question

【題目】已知圓C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a=0（a∈R）． （Ⅰ） 若a=1，求直線y=x被圓C所截得的弦長(zhǎng)；
（Ⅱ） 若a＞1，如圖，圓C與x軸相交于兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）．過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線l與圓O：x2+y2=4相交于A，B兩點(diǎn)．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意的直線l均有∠ANM=∠BNM？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 當(dāng)a=1時(shí)，圓C：x2﹣2x+y2﹣y+1=0， 圓心C（1， ），半徑r= = ，
圓心C（1， ）到直線y=x的距離d= = ，
∴直線y=x被圓C所截得的弦長(zhǎng)為：2 = ．
（Ⅱ）令y=0，得x2﹣（1+a）x+a=0，即（x﹣1）（x﹣a）=0，解得x=1，或x=a，
∴M（1，0），N（a，0）．
假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x﹣1），
代入x2+y2=4得，（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4=0，
設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），從而 ，x1x2= ．
∵NA、NB的斜率之和為 + = ，
而（x1﹣1）（x2﹣a）+（x2﹣1）（x1﹣a）
=2x1x2﹣（a+1）（x2+x1）+2a= +2a= ，
∵∠ANM=∠BNM，所以，NA、NB的斜率互為相反數(shù)， =0，即 =0，得a=4．
當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，仍然滿足∠ANM=∠BNM，即NA、NB的斜率互為相反數(shù)．
綜上，存在a=4，使得∠ANM=∠BNM
【解析】（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求出圓心C（1， ），半徑r= ，求出圓心C到直線y=x的距離，由此利用勾股定理能求出直線y=x被圓C所截得的弦長(zhǎng)．（Ⅱ）先求出所以M（1，0），N（a，0），假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)直線AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k（x﹣1），代入x2+y2=4，利用韋達(dá)定理，根據(jù)NA、NB的斜率之和等于零求得a的值．經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，這個(gè)a值仍然滿足∠ANM=∠BNM，從而得出結(jié)論．