Question

（2013•成都二模）在平面直角坐標系xOy中，已知點A（l，2），若P是拋物線 y²=2x上一動點，則P到y軸的距離與P到點A的距離之和的最小值為（　　）

• A．

  5

• B．

  17

  2

• C．-

  17 +1

  2

• D．

  17 -1

  2

Answer 1

分析：根據題意算出拋物線的焦點為F（

1

2

，0），準線l方程為x=-

1

2

．設點P在y軸上的射影為Q點，延長PQ交準線l于點B，連結PF，根據拋物線的定義得|PQ|+|PA|=|PB|+|PA|-

1

2

=|PF|+|PA|-

1

2

，再由|PF|+|PA|≥|AF|得當P、A、F三點共線時，|PQ|+|PA|取得最小值，結合坐標系內兩點間的距離公式，即可得P到y軸的距離與P到點A的距離之和的最小值．

解答：解：∵拋物線的方程為 y²=2x，
∴拋物線的焦點為F（

1

2

，0），準線l方程為x=-

1

2

設點P在y軸上的射影為Q點，延長PQ交準線l于點B，連結PF
則PQ長即為點P到y軸的距離，可得|PB|=|PQ|+

1

2

，
根據拋物線的定義，得|PB|=|PF|
∴|PQ|+|PA|=|PB|+|PA|-

1

2

=|PF|+|PA|-

1

2

，
根據平面幾何知識，可得|PF|+|PA|≥|AF|，得|PQ|+|PA|≥|AF|-

1

2

．
當且僅當P、A、F三點共線時等號成立
∵|AF|=

(1- 1 2 )2+(2-0)2

=

17

2

-

1

2

=

17 -1

2

∴當P、A、F三點共線時，|PQ|+|PA|的最小值為

17 -1

2

即P到y軸的距離與P到點A的距離之和的最小值為

17 -1

2

故選：D

點評：本題給出拋物線上動點P和定點A（1，2），求P到y軸的距離與P到點A的距離之和的最小值．著重考查了拋物線的定義與標準方程和拋物線的簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．