Question

如圖,在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中,底面是邊長為1的菱形,側棱長為2.

(1)B₁D₁與A₁D能否垂直?請證明你的判斷.

(2)當∠A₁B₁C₁在［,］上變化時,求異面直線AC₁與A₁B₁所成角的取值范圍.

Answer 1

解析：（1）不可能垂直.

如果B₁D₁⊥A₁D則B₁D₁⊥A₁D₁（三垂線定理逆定理）.

而這不可能.∴B₁D₁不垂直于A₁D.

（2）解法一：設=a,=b,=c，則

=-=-（+）=a-(b+c).

·=（a-b-c）·(-b)=b²+b·c-a·b

=1-1×1cosθ=1-cosθ.

||=.

||=1

∴cos＜，＞=,0≤cosθ≤,

∴≤cos＜,＞≤.

故AC₁，與A₁B₁所成角范圍［arccos,arccos］.

解法二：∵A₁B₁∥C₁D₁,

∴C₁D₁與AC₁所成的角∠AC₁D就是異面直線AC₁與A₁B₁所成的角.

∵≤∠A₁B₁C₁≤,

∴0≤cosA₁B₁C₁≤.

在△A₁B₁C₁中

A₁C₁²=B₁C₁²+A₁B₁²-2B₁C₁·A₁B₁

cosA₁B₁C₁

=1+1-2cosA₁B₁C₁

=2-2cosA₁B₁C₁.

在Rt△AA₁C₁中，

AC₁²=AA₁²+A₁C₁²=2²+A₁C₁²=4+A₁C₁².

連結AD₁在,Rt△AA₁D中，AD₁²=AA₁²+A₁D₁²=2²+1²=5.

在△AC₁D₁中,

cosAC₁D₁=

=.

∵0≤cosA₁B₁C₁≤，

∴≤cosAC₁D≤.

故AC₁與A₁B₁所成的角范圍為?［arccos,arccos］.