Question

已知雙曲線C：x²-y²=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是C上一點(diǎn)，∠F₁PF₂=60°，
①求F₁、F₂的坐標(biāo)；
②求雙曲線的準(zhǔn)線方程及離心率；
③求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出幾何量a，b，c，可得①求F₁、F₂的坐標(biāo)；②求雙曲線的準(zhǔn)線方程及離心率；③利用雙曲線的定義、余弦定理，根據(jù)面積公式，即可求△F₁PF₂的面積．

解答：解：①∵雙曲線C：x²-y²=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，
∴a=b=1，
∴c=

2

，
∴F₁（-

2

，0）、F₂（-

2

，0）；
②雙曲線的準(zhǔn)線方程x=±

a2

c

=±

1

2

=±

2

2

，離心率e=

c

a

=

2

；
③設(shè)|F₁P|=m，|PF₂|=n，則m-n=2（1）
在△F₁PF₂中，8=m²+n²-2mncos60°=m²+n²-mn（2），
（2）-（1）²：mn=4，
∴△F₁PF₂的面積S=

1

2

mnsin60°=

1

2

•4•

3

2

=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查三角形面積的計(jì)算，考查雙曲線的定義、余弦定理，正確運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是關(guān)鍵．