Question

【題目】如圖1，在平面四邊形ABCD中，，，且.將沿BD折成如圖2所示的三棱錐，使.

（1）證明：；

（2）求三棱錐與三棱錐的高的比.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取BD的中點M，后通過證明，，得線面垂直，從而有線線垂直；

（2）由（1）得上平面，因此取中點，作交延長線于，可證和就是相應的高，求出它們與的關系后可得結論．

（1）證明：在平面四邊形ABCD中，，，所以為正三角形，在三棱錐中，取BD的中點M，連接AM，，則，，，所以平面，從而.

（2）由于，可求得，，又，

為等腰三角形，且.如圖，取AM的中點O，連接，則，又，所以平面ABD，則為三棱錐的高，求得.

由平面，知平面上平面，為交線，在平面中，過A點作，交的延長線于N點，則平面，從而AN為三棱錐的高，求得.

所以三棱錐與三棱錐的高的比為.