Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且滿足a1=3，Sn+1=3（Sn+1）（n∈N*）． （Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）在數列{bn}中，b1=9，bn+1﹣bn=2（an+1﹣an）（n∈N*），若不等式λbn＞an+36（n﹣4）+3λ對一切n∈N*恒成立，求實數λ的取值范圍；
（Ⅲ）令Tn= + + +…+ （n∈N*），證明：對于任意的n∈N* ， Tn＜ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵Sn+1=3（Sn+1）（n∈N*）．

當n≥2時，Sn=3（Sn﹣1+1）（n∈N*）．

兩式相減得an+1=3an

∴數列{an}是首項為3，公比為3的等比數列，當n≥2時， ．

當n=1時，a1=3也符合，∴ ．

（Ⅱ）將 ，代入bn+1﹣bn=2（an+1﹣an）（n∈N*），

得 ，

∴bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn）+…+（b2﹣b1）+b1

=4（3n﹣1+3n﹣2+…+3）+9+9

=23n+3，（n∈N+）

∴不等式λbn＞an+36（n﹣4）+3λ對一切n∈N*恒成立

λ＞

令f（n）= + ，則f（n+1）= ，

∴當n≤4時，f（n）單調遞增，當n≥5時，f（n）單調遞減，

故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＞a6＞a7…

∴ ，故

∴實數λ的取值范圍為（ ，+∞）．

（Ⅲ）證明：當n=1時，T1=

當n≥2時，（2n﹣1）an﹣1=（2n﹣1）3n＞23n

∴

∴

=

=

故對于任意的n∈N*，Tn＜

【解析】（Ⅰ）由Sn+1=3（Sn+1）（n∈N*）．

得當n≥2時，Sn=3（Sn﹣1+1）（n∈N*）．

兩式相減得an+1=3an，得數列{an}是首項為3，公比為3的等比數列，即可．（Ⅱ）可得 ，bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn）+…+（b2﹣b1）+b1=23n+3，（n∈N+）

不等式λbn＞an+36（n﹣4）+3λ對一切n∈N*恒成立

λ＞

令f（n）= + ，利用單調性實數λ的取值范圍．（Ⅲ）當n≥2時，（2n﹣1）an﹣1=（2n﹣1）3n＞23n

即 =

【考點精析】本題主要考查了數列的通項公式的相關知識點，需要掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．