Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x²－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上．
(1)求圓C的方程；
(2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

（1）(x－3)²＋(y－1)²＝9.（2）a＝－1.

(1)曲線y＝x²－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點為(0,1)，(3±2，0)．故可設(shè)圓心坐標(biāo)為(3，t)，
則有3²＋(t－1)²＝²＋t².
解得t＝1，則圓的半徑為＝3.
所以圓的方程為(x－3)²＋(y－1)²＝9.
(2)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，其坐標(biāo)滿足方程組，
消去y得到方程2x²＋(2a－8)x＋a²－2a＋1＝0，
由已知可得判別式Δ＝56－16a－4a²＞0，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁＋x₂＝4－a，x₁x₂＝，①
由OA⊥OB可得x₁x₂＋y₁y₂＝0.又y₁＝x₁＋a，y₂＝x₂＋a.所以2x₁x₂＋a(x₁＋x₂)＋a²＝0.
由①②可得a＝－1，滿足Δ＞0，故a＝－1.