Question

數列{a_n}中，a₃=1，a₁+a₂+…+a_n=a_n+1（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）設b_n=log₂S_n，存在數列{c_n}使得c_n•b_n+3•b_n+4=1+n（n+1）（n+2）S_n，試求數列{c_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得，a₁=a₂，a₁+a₂=a₃
（Ⅱ）由S_n=a_n+1=S_n+1-S_n，可得2S_n=S_n+1，

Sn+1

Sn

=2，從而可得{S_n}為等比數列，進而可求
（Ⅲ）由（II）可得，S_n=

1

2

（2^n-1）=2^n-2，b_n=n-2，從而可求c_n=

1

(n+1)(n+2)

+n2^n-2，令A=

1

2•3

+

1

3•4

+…+

1

(n+1)(n+2)

，利用分組求和，令B=1•2^-1+2•2⁰+3•2¹+4•2²+…+n2^n-2，利用錯位相減可求，從而可求

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=a₂，a₁+a₂=a₃，∴2a₁=a₃=1，∴a₁=

1

2

，a₂=

1

2

．…（4分）
（Ⅱ）∵S_n=a_n+1=S_n+1-S_n，∴2S_n=S_n+1，

Sn+1

Sn

=2，…（6分）
∴{S_n}是首項為S1=a1=

1

2

，公比為2的等比數列．
∴S_n=

1

2

•2^n-1=2^n-2．…（8分）
（Ⅲ）S_n=

1

2

（2^n-1）=2^n-2，b_n=n-2，b_n+3=n+1，b_n+4=n+2，
∵c_n•b_n+3•b_n+4=1+n（n+1）（n+2）S_n，∴c_n•（n+1）（n+2）=1+n（n+1）（n+2）2^n-2，
即c_n=

1

(n+1)(n+2)

+n2^n-2．…（10分）
令A=

1

2•3

+

1

3•4

+…+

1

(n+1)(n+2)

=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)
=

1

2

-

1

(n+2)

．…（12分）
令B=1•2^-1+2•2⁰+3•2¹+4•2²+…+n2^n-2，①
2B=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+（n-1）2^n-2+n2^n-1，②
②-①得
B=n2^n-1-2^-1-2⁰-2¹-…-2^n-2=n2^n-1-

2-1(1-2n)

1-2

=（n-1）2^n-1+

1

2

，
∴c₁+c₂+…+c_n=

1

2

-

1

(n+2)

+（n-1）2^n-1+

1

2

=（n-1）2^n-1+

n+1

n+2

．…（14分）

點評：本題主要考查了利用遞推公式求解數列的通項公式，還考查了裂項求和及錯位相減求解數列的和，這也是數列求和的重要的兩個方法．