Question

設函數（,b∈Z），曲線在點（2，）處的切線方程為=3.
（1）求的解析式；
（2）證明：曲線=上任一點的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值，并求出此定值.

Answer 1

（1）f(x)=x+（2）2.

試題分析：(1)解  f′(x)=a-,于是解得或
因為a,b∈Z,故f(x)=x+.（4分）
(2)證明 在曲線上任取一點（x₀,x₀+）,
由f′(x₀)=1-知,過此點的切線方程為y-=(x-x₀).（6分）
令x=1,得y=,切線與直線x=1的交點為;
令y=x,得y=2x₀-1,切線與直線y=x的交點為(2x₀-1,2x₀-1);
直線x=1與直線y=x的交點為(1,1),從而所圍三角形的面積為
|2x₀-1-1|=|2x₀-2|=2.所以,所圍三角形的面積為定值2.（10分）
點評：主要是考查了導數的幾何意義求解切線方程，以及三角形的面積，屬于基礎題。