Question

已知函數f（x）=e^x-a（x-1），其中，a∈R，e是自然對數的底數．
（1）當a=-1時，求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數f（x）的單調性，并寫出相應的單調區間；
（3）已知b∈R，若函數f（x）≥b對任意x∈R都成立，求ab的最大值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出a=-1的函數的導數，求出切線的斜率和切點，由點斜式方程即可得到；
（2）求出導數，討論當a≤0時，當a＞0時，令導數大于0，得增區間，令導數小于0，得減區間；
（3）由（2）可得，a＞0時f（x）取得極小值也為最小值，由恒成立思想可得a（2-lna）≥b，則ab≤a²（2-lna），令t=a²（2-lna），求得導數，求出極大值也為最大值，即可得到．

解答： 解：（1）當a=-1時，f（x）=e^x+x-1的導數為f′（x）=e^x+1，
函數f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為e+1，
又切點為（1，e），則切線方程為y-e=（e+1）（x-1），即為（e+1）x-y-1=0；
（2）函數f（x）=e^x-a（x-1）的導數f′（x）=e^x-a，
當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）遞增，則f（x）的增區間為（-∞，+∞）；
當a＞0時，f′（x）＞0，解得，x＞lna，f′（x）＜0，解得，x＜lna．
即有f（x）的增區間為（lna，+∞），減區間為（-∞，lna）；
（3）由（2）可得，a≤0時，f（x）遞增，無最值；
當a＞0時，f（x）在（-∞，lna）上遞減，在（lna，+∞）上遞增，
則f（x）在x=lna處取得極小值也為最小值，且為a-a（lna-1）=a（2-lna）．
函數f（x）≥b對任意x∈R都成立，則有a（2-lna）≥b，
則ab≤a²（2-lna），
令t=a²（2-lna），則t′=2a（2-lna）-a=a（3-2lna），
當0＜a＜e

3

2

時，t′＞0，t遞增；當a＞e

3

2

時，t′＜0，t遞減．
則t在a=e

3

2

時取得極大，也為最大，且為e³（2-

3

2

）=

1

2

e³．
則ab的最大值為

1

2

e³．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程和求單調區間、極值和最值，考查分類討論的思想方法，考查構造函數運用導數求最值的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．