Question

已知均為正數，證明：．

Answer 1

證明見解析.

試題分析：不等式是對稱式，特別是本題中不等式成立的條件是，因此我們可以用基本不等式，注意對稱式的應用，如，對應的有，，這樣可得①，同樣方法可得，因此有②，①②相加，再應用基本不等式就可證明本題不等式了.
因為a，b，c均為正數，
由均值不等式得a²＋b²≥2ab，   b²＋c²≥2bc，    c²＋a²≥2ac．
所以a²＋b²＋c²≥ab＋bc＋ac．同理，
故a²＋b²＋c²＋≥ab＋bc＋ac＋≥6．
所以原不等式成立．                              10分