Question

已知雙曲線

x2

2

-

y2

b2

=1（b＞0）的左、右焦點分別是F₁、F₂，其中一條漸近線方程為y=x，點P（x₀，y₀）在雙曲線，求

PF1

•

PF2

的范圍．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由雙曲線方程寫出漸近線，由已知可得b，再由數量積的坐標公式，結合點P在雙曲線上，得到所求數量積為2x₀²-6，再由雙曲線的范圍，即可得到范圍．

解答： 解：雙曲線

x2

2

-

y2

b2

=1（b＞0）的漸近線方程為：y=±

b

2

x，
由于其中一條漸近線方程為y=x，則b=

2

，
即有雙曲線方程為：x²-y²=2．
即有左、右焦點分別是F₁（-2，0），F₂（2，0），
則

PF1

•

PF2

=（-2-x₀，-y₀）•（2-x₀，-y₀）=x₀²+y₀²-4
又點P（x₀，y₀）在雙曲線上，即有x₀²-y₀²=2，
即y₀²=x₀²-2，
即有

PF1

•

PF2

=2x₀²-6，
由雙曲線的性質，可得x₀²≥2，
則有

PF1

•

PF2

≥4-6=-2．
故所求范圍是[-2，+∞）．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，考查平面向量的數量積的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．