Question

【題目】已知圓的圓心在直線.

(1)若圓與軸的正半軸相切,且該圓截軸所得弦的長為,求圓的標準方程;

(2)在(1)的條件下,直線與圓交于兩點,,若以為直徑的圓過坐標原點,求實數的值;

(3)已知點,圓的半徑為3,且圓心在第一象限,若圓上存在點,使(為坐標原點),求圓心的縱坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1);(2);(3).

【解析】

（1）設出圓心坐標，根據圓與軸正半軸相切以及該圓截軸所得弦的長，求得圓的圓心和半徑，由此求得圓的方程.

（2）聯立直線的方程和圓的方程，寫出判別式和韋達定理，結合圓的幾何性質有，化簡此方程求得的值.

（3）設，根據求得的軌跡方程，將問題轉化為兩個圓有公共點的問題來求解出圓心的縱坐標的取值范圍.

(1)因為圓的圓心在直線上,所以可設圓心為.

因為圓與軸的正半軸相切,所以,半徑.

又因為該圓截軸所得弦的長為,

所以,解得.

因此,圓心為,半徑.

所以圓的標準方程為.

(2)由消去,得.

整理得. (★)

由,得, (※)

設,,則,,

因為以為直徑的圓過原點,可知,的斜率都存在,且,

整理得,即.

化簡得,即.

整理得.解得.

當時,,. ③

由③,得,從而,

可見,時滿足不等式(※).均符合要求.

(3)圓的半徑為3,設圓的圓心為,

由題意,,則圓的方程為.

又因為,,

設點的坐標為,則,

整理得.

它表示以為圓心,2為半徑的圓,記為圓.

由題意可知,點既在圓上又在圓上,即圓和圓有公共點.

所以,且.

即,且.

所以,即,解得.

所以圓心的縱坐標的取值范圍是.