Question

【題目】某濕地公園內有一條河，現打算建一座橋將河兩岸的路連接起來，剖面設計圖紙如下：

其中，點為軸上關于原點對稱的兩點，曲線段是橋的主體，為橋頂，且曲線段在圖紙上的圖形對應函數的解析式為，曲線段均為開口向上的拋物線段，且分別為兩拋物線的頂點，設計時要求：保持兩曲線在各銜接處（）的切線的斜率相等.

（1）求曲線段在圖紙上對應函數的解析式,并寫出定義域；

（2）車輛從經倒爬坡，定義車輛上橋過程中某點所需要的爬坡能力為：（該點與橋頂間的水平距離）（設計圖紙上該點處的切線的斜率），其中的單位：米.若該景區可提供三種類型的觀光車:①游客踏乘；②蓄電池動力；③內燃機動力.它們的爬坡能力分別為米,米,米,又已知圖紙上一個單位長度表示實際長度米,試問三種類型的觀光車是否都可以順利過橋?

Answer 1

【答案】⑴⑵“游客踏乘”的車輛不能順利通過該橋，而“蓄電池動力”和“內燃機動力”的車輛可以順利通過該橋.

【解析】

試題分析：（1）據題意，拋物線段與軸相切，且為拋物線的頂點，設，則拋物線段在圖紙上對應函數的解析式可設為，因為點為銜接點,則解得所以曲線段在圖紙上對應函數的解析式為

（2）設是曲線段上任意一點,分別求P在兩段上時，函數的最大值

若在曲線段上,則通過該點所需要的爬坡能力，，利用二次函數求其最值（米），若在曲線段上,則通過該點所需要的爬坡能力

，令，換元法求其最大阻值，（米），所以可知:車輛過橋所需要的最大爬坡能力為米,

又因為,所以“游客踏乘”的車輛不能順利通過該橋，而“蓄電池動力”和“內燃機動力”的車輛可以順利通過該橋．

試題解析：⑴據題意，拋物線段與軸相切，且為拋物線的頂點，設，則拋物線段在圖紙上對應函數的解析式可設為，其導函數為

由曲線段在圖紙上的圖像對應函數的解析式為,

又,且,所以曲線在點處的切線斜率為,

因為點為銜接點,則解得

所以曲線段在圖紙上對應函數的解析式為

⑵設是曲線段上任意一點,

①若在曲線段上,則通過該點所需要的爬坡能力

令 ,

所以函數 在區間上為增函數,在區間上是減函數,

所以（米）

②若在曲線段上,則通過該點所需要的爬坡能力

令則

記當時,而當時,

所以當時,有最小值從而取最大值

此時（米）

所以由①,②可知:車輛過橋所需要的最大爬坡能力為米,

又因為,所以“游客踏乘”的車輛不能順利通過該橋，而“蓄電池動力”和“內燃機動力”的車輛可以順利通過該橋．