Question

【題目】在y=2x2上有一點(diǎn)P，它到A（1，3）的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（ ）
A.（﹣2，1）
B.（1，2）
C.（2，1）
D.（﹣1，2）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：把拋物線的解析式y(tǒng)=2x2變?yōu)閤2= y，
與標(biāo)準(zhǔn)形式x2=2py 對(duì)照，知：2p= ．∴p= ．
∴拋物線x2= y的準(zhǔn)線方程為L(zhǎng)：y=﹣ =﹣ ．
由拋物線定義知：拋物線上任意一點(diǎn)到準(zhǔn)線距離等于到焦點(diǎn)距離．
∴點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離．
分析點(diǎn)A與已知拋物線y=2x2的位置關(guān)系：
在y=2x2中，當(dāng)x=1時(shí)，y=2，而點(diǎn)A（1，3）在拋物線內(nèi)．
過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為B，
設(shè)線段AB與拋物線及x軸分別交于點(diǎn)M、點(diǎn)N，
∵AB⊥準(zhǔn)線y=﹣ ，而點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為3，
∴AN=3且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同均為1．
把x=1代入y=2x2得y=2，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）．
下面分析“距離之和最小”問題：
在拋物線y=2x2上任取一點(diǎn)P，過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，
過P作AB的垂線，垂足為H，
在Rt△PAH中，斜邊大于直角邊，則|PA|＞|AH|．
在矩形PQBH中，|PQ|=|HB|，
∴|PA|+|PF|（這里設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F）
=|PA|+|PQ|＞|AH|+|HB|=|AB|．
即：拋物線上任意一點(diǎn)P到A的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和最小為|AB|．
此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，其坐標(biāo)為P（1，2）．
故選：B．