Question

【題目】如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，平面平面，，，且，，，的中點分別是，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求點到平面的距離．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）連接，，根據面面垂直的性質，線面垂直的判定定理，即可證明結論成立；

（Ⅱ）根據題意，計算出，，，過點作于點，得到；設點到平面的距離為，根據等體積法，即可求出結果.

（Ⅰ）連接，，由題目可知四邊形為正方形，所以．

因為，的中點是，所以．

因為平面平面，平面平面，在平面內，，

所以平面．

所以．

又因為，所以平面．

因為，的中點分別是，，所以．

所以平面．

（Ⅱ）因為，，

所以，．

所以．

過點作于點，易知，則．

所以在中，由余弦定理得．

則．則．

設點到平面的距離為，則

由三棱錐三棱錐，得，

即，解得．

即點到平面的距離為．