知橢圓
的離心率為
，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為
，直線l的方程為：
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）已知直線l與橢圓相交于
、
兩點
①若線段
中點的橫坐標為
，求斜率
的值；
②已知點
，求證：
為定值
（Ⅰ）
；（Ⅱ）（1）
，（2）定值為
解析試題分析：(1)橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形,可以看作是以
長為底邊，高為
的等腰三角形，故面積為
，從而可以列出等式
，又由離心率得
及
，可解出
，從而求出橢圓的方程 （2）直線和橢圓相交，其方程聯立方程組，消去
，可得關于
的二次方程，利用韋達定理可得
，這就是相交弦的中點的橫坐標，從而求出，把用坐標表示出來，借助（1）中的二次方程得出的
代入，就可證明出定值
試題解析：（Ⅰ）因為滿足，， 2分
，解得
，
，
則橢圓方程為 4分
（Ⅱ）（1）設
，將代入并化簡得
6分
，
則
是上述方程的解 
， 7分
因為的中點的橫坐標為，所以
，解得 9分
（2）由（1），
，
，為定值
考點：（Ⅰ）橢圓的標準方程與幾何性質；（Ⅱ）直線與橢圓的位置關系問題
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，F1，F2是離心率為
的橢圓C：
(a＞b＞0)的左、右焦點，直線
：x＝－
將線段F1F2分成兩段，其長度之比為1:3．設A，B是C上的兩個動點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知雙曲線
的離心率為
，右準線方程為
,
(1)求雙曲線C的方程；
(2)已知直線
與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在以雙曲線C的實軸長為直徑的圓上，求m的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C:
的離心率為
，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切．
(1)求橢圓
的方程；
(2)若過點
(2，0)的直線與橢圓相交于兩點
，設
為橢圓上一點，且滿足
（
為坐標原點），當
時，求實數
取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
矩形
的中心在坐標原點，邊
與
軸平行，=8，
=6.
分別是矩形四條邊的中點，
是線段
的四等分點,
是線段
的四等分點.設直線
與
,
與
,
與
的交點依次為
.
（1）求以
為長軸，以
為短軸的橢圓Q的方程；
（2）根據條件可判定點都在（1）中的橢圓Q上，請以點L為例，給出證明（即證明點L在橢圓Q上）.
（3）設線段的
（
等分點從左向右依次為
，線段的等分點從上向下依次為
，那么直線
與哪條直線的交點一定在橢圓Q上？（寫出結果即可，此問不要求證明）
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
橢圓以坐標軸為對稱軸，且經過點
、
.記其上頂點為
，右頂點為
.
（1）求圓心在線段
上，且與坐標軸相切于橢圓焦點的圓的方程；
（2）在橢圓位于第一象限的弧上求一點
，使
的面積最大.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知圓心坐標為
的圓
與
軸及直線
均相切，切點分別為
、
，另一圓
與圓、軸及直線均相切，切點分別為
、
．
（1）求圓和圓的方程；
（2）過點作
的平行線
，求直線被圓截得的弦的長度；
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
(本小題滿分12分)已知圓M：(x＋1)2＋y2=1，圓N：(x－1)2＋y2=9，動圓P與圓M外切并與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線 C
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|.
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經過點
，
.
為橢圓
的最大值.