Question

【題目】設函數f（x）=x2﹣bx+alnx．
（1）若b=2，函數f（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求實數a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，證明：f（x2）＞﹣ ；
（3）若對任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e為自然對數的底數），使得f（x）＜0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，b=2時，f（x）=x2﹣2x+alnx，f（x）的定義域為（0，+∞），

求導數得：f′（x）= ，

∵f（x）有兩個極值點x1，x2，f′（x）=0有兩個不同的正根x1，x2，

故2x2﹣2x+a=0的判別式△=4﹣8a＞0，即a＜ ，

且x1+x2=1，x1x2= ＞0，所以a的取值范圍為（0， ）；

（2）證明：由（1）得， ＜x2＜1且f′（x2）=0，得a=2x2﹣2 ，

∴f（x2）= ﹣2x2+（2x2﹣2 ）lnx2，

令F（t）=t2﹣2t+（2t﹣2t2）lnt，（ ＜t＜1），

則F（t）=2（1﹣2t）lnt，

當t∈（ ，1）時，F′（t）＞0，∴F（t）在（ ，1）上是增函數

∴F（t）＞F（ ）= ，

∴f（x2）＞﹣ ；

（3）解：令g（b）=﹣xb+x2+alnx，b∈[1，2]，

由于x∈（1，e），所以g（b）為關于b的遞減的一次函數，

根據題意，對任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e為自然對數的底數），使得f（x）＜0成立，

則x∈（1，e）上g（b）max=g（1）=﹣x+x2+alnx＜0有解，

令h（x）=﹣x+x2+alnx，則只需存在x0∈（1，e）使得h（x0）＜0即可，

由于h′（x）= ，令ω（x）=2x2﹣x+a，x∈（1，e），ω′（x）=4x﹣1＞0，

∴ω（x）在（1，e）上單調遞增，∴ω（x）＞ω（1）=1+a，

①當1+a≥0，即a≥﹣1時，ω（x）＞0，∴h′（x）＞0，

∴h（x）在（1，e）上是增函數，∴h（x）＞h（1）=0，不符合題意，

②當1+a＜0，即a＜﹣1時，ω（1）=1+a＜0，ω（e）=2e2﹣e+a，

（ⅰ）若ω（e）＜0，即a≤2e2﹣e＜﹣1時，在x∈（1，e）上ω（x）＞0恒成立

即h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（1，e）上單調遞減，

∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合題意，

（ⅱ）若ω（e）＞0，即2e2﹣e＜a＜﹣1時，在（1，e）上存在實數m，使得ω（m）=0，

∴在（1，m）上，ω（x）＜0恒成立，即h′（x）＜0恒成立

∴h（x）在（1，e）上單調遞減，

∴存在x0∈（1，e），使得h（x0）＜h（1）=0，符合題意，

綜上所述，當a＜﹣1時，對任意b∈[1，2]，都存在x∈（1，e）（e為自然對數的底數），使得f（x）＜0成立．

【解析】（1）求出f（x）的導數，結合二次函數的性質求出a的范圍即可；（2）求出f（x2）= ﹣2x2+（2x2﹣2 ）lnx2 ， 令F（t）=t2﹣2t+（2t﹣2t2）lnt，（ ＜t＜1），得到F（t）=2（1﹣2t）lnt，根據函數的單調性求出F（t）＞（ ），從而證出結論；（3）令g（b）=﹣xb+x2+alnx，b∈[1，2]，得到在x∈（1，e）上g（b）max=g（1）=﹣x+x2+alnx＜0有解，令h（x）=﹣x+x2+alnx，通過討論a的范圍，求出函數的單調性，從而確定a的范圍即可．
【考點精析】利用函數的極值與導數和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．