Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|，
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，寫(xiě)出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞2時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值；
（Ⅲ）設(shè)a≠0，函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，請(qǐng)分別求出m、n的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

分析：（I）將a=2代入函數(shù)的解析得出f（x）=x|x-2|，將其變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)研究其單調(diào)性即可
（Ⅱ）當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，2]上解析式是確定的，去掉絕對(duì)號(hào)后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定其單調(diào)性，再求最值．
（Ⅲ）a≠0，函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值說(shuō)明在函數(shù)最值不在區(qū)間端點(diǎn)處取得，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)必有兩個(gè)極值，由函數(shù)的性質(zhì)確定出極值，由于極值即為最值，故可借助函數(shù)的圖象得m、n的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x|x-2|=

x(x-2)，x≥2 x(2-x)，x＜2

由二次函數(shù)的性質(zhì)知，單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1]，[2，+∞）（開(kāi)區(qū)間不扣分）
（Ⅱ）因?yàn)閍＞2，x∈[1，2]時(shí)，所以f（x）=x（a-x）=-x²+ax=-(x-

a

2

)2+

a2

4

當(dāng)1＜

a

2

≤

3

2

，即2＜a≤3時(shí)，f（x）_min=f（2）=2a-4
當(dāng)

a

2

＞

3

2

，即a＞3時(shí)，f（x）_min=f（1）=a-1
∴f(x)min=

2a-4，2＜a≤3 a-1，a＞3

（Ⅲ）f(x)=

x(x-a)，x≥a x(a-x)，x＜a

①當(dāng)a＞0時(shí)，圖象如上圖左所示
由

y= a2 4 y=x(x-a)

得x=

( 2 +1)a

2

∴0≤m＜

a

2

，a＜n≤

2 +1

2

a
②當(dāng)a＜0時(shí)，圖象如上圖右所示
由

y=- a2 4 y=x(a-x)

得x=

(1+ 2)

2

a
∴

1+ 2

2

a≤m＜a，

a

2

＜n≤0

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，綜合考查了二次函數(shù)的圖象，最值等知識(shí)以及配方法求最值的技巧．解題時(shí)數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化靈活，綜合性很強(qiáng)．